Halaman
Matematika1414.3 Nilai Perbandingan Trigonometri untuk 0o, 30o, 45o, 60o dan 90oPada saat mempelajari teori trigonometri, secara tidak langsung kamu harus menggunakan beberapa teori geometri. Dalam geometri, khususnya dalam kajian konstruksi sudah tidak asing lagi dengan penggunaan besar sudut 30o, 45o, dan 60o. Pada subbab ini, kamu akan menyelidiki dan menghitung nilai perbandingan trigonometri untuk ukuran sudut 0o, 30o, 45o, 60o, dan 90o.Masalah 4.3Diketahui suatu persegi ABCD dengan ukuran a (a adalah bilangan positif ). Dibentuk garis diagonal AC sedemikian sehingga membentuk sudut dengan AB, seperti Gambar 4. 15. Temukan nilai sin 45o, cos 45o, dan tan 45o.Alternatif PenyelesaianUntuk memudahkan kita menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut 45o, coba cermati segitiga siku-siku ABC.Gambar 4.15 Persegi ABCDAaaaDa45oBCUntuk menentukan nilai sin 45o, cos 45o, dan tan 45o, perlu diingat kembali Definisi 4.1. Untuk menentukan panjang AC, gunakan Teorema Pythagoras, yaitu AC2 = AB2 + BC2⇒ AC2 = a2 + a2 = 2a⇒AC = 22= 2aaDengan demikian, diperoleh:➢ sin 45o = ×1 2 21= == =2222 22BCaACa➢ cos 45o = ×1 2 21= == =2222 22ABaACa
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK142➢ tan 45o = ==1BCaABaMengingat kembali Definisi 4.1, terdapat cara lain untuk menentukan nilai tan 45o, yaitutan 45o = oo2sin 452==1cos 4522Dengan nilai di atas, bukanlah sesuatu hal yang sulit untuk menentukan nilai sec 45o, csc 45o, dan cot 45o. sec 45o = o2sec 45 === 2ACaABa atau sec 45o = ×o1122 22====2cos 4522 222csc 45o = 2==2ACaBCa atau csc 45o = ×o1122 22====2sin 4522 222cot 45o == =1ACaBCaatau cot 45o = tan 11145 1Jadi, dapat disimpulkansin 45o = 22 cos 45o = 22 tan 45o = 1csc 45o = 2 sec 45o = 2 cot 45o = 1
Matematika143Masalah 4.4Diberikan segitiga sama sisi ABC, dengan panjang sisi 2a satuan (a adalah bilangan positif ). D adalah titik tengah sisi AB, seperti Gambar 4.16.Hitung nilai: sin 30o, cos 30o, tan 30o, sin 60o, cos 60o, dan tan 60o.Alternatif PenyelesaianMari cermati segitiga sama sisi ABC. Karena D merupakan titik tengah sisi AB,maka AD = 12AB = a.Gambar 4.16 Segitiga sama sisi ABCADCB2a30o60o60oDengan demikian, kita peroleh∆ACD≅∆BCD, (simbol ≅ dibaca: kongruen)AD = BD = a∠ACD = ∠DBC = 30oDengan demikian, ∠ACD dan ∆BCD adalah segitiga siku-siku. Kita fokus pada ∆ACD.Diketahui bahwa AC = 2a, AD = a, dengan menggunakan Teorema Pythagoras, dapat ditentukan panjang sisi CD, yaitu CD2 = AC2 – AD2⇒ CD2 = (2a)2 – a2 = 4a2 – a2 = 3a2⇒ CD2 = 23=3aadan ∠ACD = 30o, ∠CAD = 60oa. Untuk ∠ACD = 30o, maka nilai perbandingan trigonometri (menggunakan Definisi 4.1), sin 30o = 1==22ADaACa
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK144⇔ csc 30o = 2==2ACaADacos 30o = 31==322CDaACa⇔ sec 30o = 22==333ACaCDatan 30o = 1==333ADaCDa⇔ cot 30o = 3==3CDaADab. Untuk ∠CAD = 60o, maka nilai perbandingan trigonometri (menggunakan Definisi 4.1), yaitusin 60o = 31==322CDaACa⇔ csc 60o = 22==333ACaCDacos 60o = 1==22ADaACa⇔ sec 60o = 2==2ACaADatan 60o = 3==3CDaADa⇔ cot 60o = 1==333ADaCDaMasalah 4.5Diberikan suatu ∆ABC, siku-siku di B, misalkan ∠BAC = α, dimana αmerupakan sudut lancip.Apa yang kamu peroleh jika α mendekati 0o? Apa pula yang terjadi jika α mendekati 90o?
Matematika145Alternatif PenyelesaianDiketahui ∆ABC, merupakan segitiga siku-siku, dengan ∠B = 90o. Gambar 4.17 merupakan ilustrasi perubahan ∠B = αhingga menjadi nol. BB(b)ABC(c)ABC(d)ABC(e)AC(a)ACGambar 4.17 Ilustrasi perubahan ∠B segitiga siku-siku ABC menjadi 0oPada waktu memperkecil ∠A, mengakibatkan panjang sisi BC juga semakin kecil, sedemikian sehingga AC hampir berimpit dengan AB. Jika a = 0o, maka BC = 0, dan AC berimpit dengan AB. Dari ∆ABC (Gambar 4.17 (a)), kita memilikia. sin α = BCAC, jika α mendekati 0o, maka panjang BC mendekati 0. Akibatnyasin 0o = 0AC atau sin 0o = 0b. cos α = BCAC, jika α mendekati 0o, maka sisi AC hampir berimpit dengan sisi AB. Akibatnyacos 0o = ABAB atau cos 0o = 1
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK146Dengan menggunakan Definisi 4.1, kita dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri lainnya, yaitu➢ tan 0o = oosin 00== 0cos 01➢ csc 0o = o11=sin 00(tak terdefinisi)➢ sec 0o = 1=o11=cos 01➢ cot 0o = oocos 01=sin 00 (tak terdefinisi)Selanjutnya, kita kembali mengkaji ∆ABC. Kita akan cermati bagaimana perubahan segetiga tersebut jika α mendekati 90o. Perhatikan gambar berikut ini.BBBA = BAAA(b)(c)(d)(e)CCCCB(a)ACGambar 4.18 Ilustrasi perubahan ∠A segitiga siku-siku ABC menjadi 90oJika ∠A diperbesar mendekati 90o, maka ∠C diperkecil mendekati 0o. Akibatnya, sisi AC hampir berimpit dengan sisi BC.
Matematika147Dari ∆ABC, Gambar 4.18 (a), dapat kita tuliskana) sin ∠A = BCAC, karena diperbesar mendekati 90o, maka sisi AC hampir berimpit dengan BC. Akibatnya sin 90o = atau sin 90o = 1b) cos ∠A = 0=ABACBC, karena ∠A diperbesar mendekati 90o, maka sisi AB hampir mendekati 0 atau titik A hampir berimpit dengan B. Akibatnyacos 90o = 0=ABACBC atau cos 90o = 0Dengan menggunakan Definisi 4.1, kita dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri yang lain, yaitu:➢ tan 90o = oosin 901=cos 900 (tak terdefinisi)➢ csc 90o = oo11== 1sin 901➢ sec 90o = oo11=cos 900 (tak terdefinisi)➢ cot 90o = oocos 900== 0sin 901Dari pembahasan Masalah 4.2, 4.3, dan 4.4, maka hasilnya dapat disimpulkan pada tabel berikut.Tabel 4.2 Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewasincostancscseccot0o010~1~30o121231332233345o1221221221
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK148sincostancscseccot60o123123233213390o10~1~0Keterangan: Dalam buku ini, simbol ~ diartikan tidak terdefinisiContoh 4.7Diberikan suatu segitiga siku-siku KLM, siku-siku di L. Jika LM = 5 cm, dan ∠M = 30o. Hitung:a. panjang KL dan MK,b. cos ∠K,c. untuk setiap α (α adalah sudut lancip), selidiki hubungan nilai sin α dengan sin (90 – α).Alternatif PenyelesaianUntuk memudahkan dalam menye-lesaikannya, tidak ada salahnya lagi perhatikan Gambar 4.19 berikut.a. Dengan menggunakan Definisi 4.1, kita mengartikan nilai perbandingan cos 30o, yaitucos 30o = LMMK.Dari Tabel 4.2, cos 30o = 32, akibatnyaGambar 4.19 Segitiga siku-siku KLM.ML530oK32 = 5MK⇔ ×103 10 3==333MK cm
Matematika149Selanjutnya, untuk menentukan panjang KL dapat dihitung dengan mencari sin 30o atau menggunakan Teorema Pythagoras, sehingga diperoleh KL = 533 cmb. Ada dua cara untuk menentukan nilai cos ∠K. Pertama, karena ∠L = 90o dan ∠M = 30o, maka ∠K = 60o. Akibatnya cos 60o = 12 (Lihat Tabel 4.2). Kedua, karena semua panjang sisi sudah dihitung dengan menggunakan Definisi 4.1, maka cos ∠K = 5313==210 33KLMKc. Untuk setiap segitiga berlaku bahwa∠L + α + ∠K = 180o, maka ∠K = 180o – (α + 90o) = (90o – α) Karena α = 30o, maka (90o – α) = 60o. Oleh karena itu, dapat dituliskan bahwasin α = cos (90o – α), karenasin 30o = cos (90o – 30o)sin 30o = cos 60o (Lihat Tabel 4.2)Sekarang, mari kita selidiki, jika α = 60o, makasin α = cos (90o – α), karenasin 60o = cos (90o – 60o)sin 60o = cos 30oTernyata, pola tersebut juga berlaku untuk α = 0o, α = 45o, dan α = 90oJadi, diperoleh hubungan sinus dan cosinus. Jika 0o≤α≤ 90o, maka sin α = cos ((90o – α)
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK150Contoh 4.8Diketahui sin (A – B) = 12, cos (A + B) = 12, 0o < (A + B) < 90o, A > BHitung sin A dan tan B.Alternatif PenyelesaianUntuk memulai memecahkan masalah tersebut, harus dapat mengartikan 0o < (A + B) < 90o, yaitu kita harus menentukan dua sudut A dan B, sedemikian sehingga cos (A + B) = 12 dan sin (A – B) = 12Lihat kembali Tabel 4.2, cos α = 12 (α adalah sudut lancip), maka α = 60oJadi, diperoleh: A + B = 60o (1*)Selanjutnya, dari Tabel 4.2, sin α = 12 (α adalah sudut lancip), maka α = 30oJadi, kita peroleh: A – B = 30o (2*)Dari (1*) dan (2*), dengan cara eliminasi maka diperoleh A = 45o dan B = 15o